Question

設(shè)定義域為（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），若對任意的x∈（0，+∞），都有f(f(x)+log

1

2

x)=6，則方程f（x）=2^x解的個數(shù)是（　�。�

A．3

B．2

C．1

D．0

Answer 1

分析：根據(jù)f（x）為（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)，對任意的x∈（0，+∞），都有f(f(x)+log

1

2

x)=6，可求得函數(shù)的解析式f（x）=4+log₂x，在同一坐標系中，作出f（x）=4+log₂x與g（x）=2^x的圖象，可得交點的個數(shù)，從而可求方程f（x）=2^x解的個數(shù)．

解答：解：∵f（x）為（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)，f(f(x)+log

1

2

x)=6
令f(x)+log

1

2

x=t，∴t為定值（單調(diào)）
∴f（x）=log₂x+t 且f（t）=6
∴l(xiāng)og₂t+t=6，
∴l(xiāng)og₂t=6-t
∴t=4
∴f（x）=4+log₂x
f（x）=4+log₂x是由y=log₂x的圖象向上平移4個單位，
在同一坐標系中，作出f（x）=4+log₂x與g（x）=2^x的圖象，可知交點的個數(shù)為2個
∴方程f（x）=2^x解的個數(shù)是2個
故選B．

點評：本題考查方程解的個數(shù)，考查函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合法求交點的個數(shù)．