Question

某影視城為提高旅游增加值，現(xiàn)需要對(duì)影視城內(nèi)景點(diǎn)進(jìn)行改造升級(jí)．經(jīng)過市場調(diào)查，改造后旅游收入y（萬元）與投入x（萬元）之間滿足關(guān)系：y=-ax²，x∈[t，+∞），其中t為大于的常數(shù)．當(dāng)x=10萬元時(shí)，y=9.2萬元，又每投入x萬元需繳納（3+ln）萬元的增值稅（旅游增加值=旅游收入-增值稅）．
（I）若旅游增加值為了f（x），求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求旅游增加值f（x）的最大值M．

Answer 1

解：（I）當(dāng)x=10時(shí)，y=9.2，即-100a=9.2，∴a=
∴f（x）=，x∈[t，+∞），
（Ⅱ）
①t∈（50，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（t，+∞）上是減函數(shù)
∴f（x）在x=t時(shí)取得最大值，M=f（t）=
②t∈[1，50]時(shí)，x∈（t，50），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，x∈（50，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減
∴f（x）在x=50時(shí)取得最大值，M=f（50）=23-ln5‘
③t∈時(shí)，x∈（t，1），f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；x∈（1，50），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；x∈（50，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減
∵f（5）＞f（）＞f（t），M=f（50）=23-ln5
∴M=
分析：（I）當(dāng)x=10時(shí)，y=9.2，代入函數(shù)關(guān)系式，求出a的值，即可求得f（x）的解析式；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，對(duì)t分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．