Question

已知橢圓Γ的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點B恰好是拋物線的焦點，離心率等于．直線l與橢圓Γ交于M，N兩點．
（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；
（Ⅱ）橢圓Γ的右焦點是否可以為△BMN的重心？若可以，求出直線l的方程；若不可以，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)橢圓C的一個頂點恰好是拋物線 的焦點，結(jié)合離心率．易求出a，b的值，得到橢圓C的方程．
（II）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)x軸上存在滿足條件的點C（x，0），再利用向量的坐標表示，求出，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（I）設(shè)橢圓C的方程為 ，則由題意知b=1．…（2分）
∴．∴a²=5．…（4分）
∴橢圓C的方程為  ．…（5分）
（II）由（I）知，B（0，1），F(xiàn)（1，0）
假設(shè)存在直線l，使得F可以為△BMN的重心，
設(shè)A（x，y）為MN的中點，
則．，
于是 由得：

從而x=，y=-
∴
這表明點A在橢圓外，這與A為弦的中點矛盾，
∴不存在直線l，使得F為△BMN的重心．
點評：本題考查的知識點是橢圓的標準方程，直線與圓錐曲線的綜合問題，其中根據(jù)已知條件計算出橢圓的標準方程是解答本題的關(guān)鍵．