Question

已知函數(shù)的最大值為g（a）．
（1）設(shè)，求t的取值范圍；
（2）求：g（a）的解析式；
（3）求：探究g（a）的單調(diào)性和最值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)根號內(nèi)有意義求出自變量的范圍，再對t兩邊平方結(jié)合x的范圍即可求出結(jié)論；
（2）直接根據(jù)=t²-1即可求出m（t），g（a）即為函數(shù)M（t）=at²+t-a在t∈[，2]的最大值；然后再結(jié)合二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法分對稱軸和區(qū)間的三種位置關(guān)系分別討論即可．（注意開口方向）
（3）①當a＞-時，g（a）=a+2是增函數(shù)，值域為（，+∞）；②當-時，g（a）=-a-是增函數(shù)，g（a）的值域為（，]；③當a時，g（a）=是常函數(shù)，g（a）的值域為{}．由此能求出g（a）的單調(diào)性和最值．
解答：解：（1）令t=+，
要使t有意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1，
∴t²=2+2∈[2，4]，t≥0．
∴t的取值范圍[，2]．
（2）由（1）知，=t²-1
∴M（t）=a（t²-1）+t=at²+t-a，（≤t≤2）
由題意得g（a）即為函數(shù)M（t）=at²+t-a在t∈[，2]的最大值，
注意到直線t=-是拋物線M（t）的對稱軸，分別分以下情況討論．
當a＞0時，y=M（t）在t∈[，2]上單調(diào)遞增，∴g（a）=M（2）=a+2．
當a=0時，M（t）=t，t∈[，2），∴g（a）=2；
當a＜0時，函數(shù)y=M（t），t∈[，2]圖象開口向下；
若t=-∈（0，]，即a≤-時，則g（a）=M（）=；
若t=-∈（，2]即-＜a≤-時，則g（a）=M（-）=-a-；
若t=-∈（2，+∞），-＜a＜0時，則g（a）=M（2）=a+2．
綜上得：g（a）=．
（3）①當a＞-時，g（a）=a+2是增函數(shù)，值域為（，+∞）；
②當-時，g（a）=-a-是增函數(shù)，g（a）的值域為（，]；
③當a時，g（a）=是常函數(shù)，g（a）的值域為{}．
綜上所述，g（a）=的最小值為，無最大值．
點評：本題主要考察分段函數(shù)的應(yīng)用問題以及分類討論思想的應(yīng)用．解決本題的關(guān)鍵在于第一問中的t的取值范圍不能出錯．而第三問涉及到二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值討論，一定要注意討論對稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系．