Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點P在橢圓E上，且位于第一象限，過點F1作直線PF1的垂線l1,過點F2作直線PF2的垂線l2.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線l1，l2的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）∵橢圓E的離心率為，∴①.∵兩準(zhǔn)線之間的距離為8，∴②.聯(lián)立①②得，∴，故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)，則，由題意得，整理得，∵點在橢圓E上，∴，∴，∴，故點P的坐標(biāo)是.

【解析】

解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c.

因為橢圓E的離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8，所以，，

解得，于是，

因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

（2）由（1）知，，.

設(shè)，因為點為第一象限的點，故.

當(dāng)時，與相交于，與題設(shè)不符.

當(dāng)時，直線的斜率為，直線的斜率為.

因為，，所以直線的斜率為，直線的斜率為，

從而直線的方程：， ①

直線的方程：. ②

由①②，解得，所以.

因為點在橢圓上，由對稱性，得，即或.

又在橢圓E上，故.

由，解得；，無解.

因此點P的坐標(biāo)為.