Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，.

（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在一個(gè)奇數(shù)，使得數(shù)列中的項(xiàng)都在數(shù)列中？若存在，找出符合條件的一個(gè)奇數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；

【解析】

（1）利用 將原遞推公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得，進(jìn)而可得，兩式相減可得，再根據(jù)等差數(shù)列的定義可得數(shù)列和分別是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，由此即可求出結(jié)果；

（2）當(dāng)時(shí)，由可得，，所以數(shù)列和分別是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，和，記，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，而為偶數(shù)；所以不是數(shù)列中的項(xiàng)，只可能是中的項(xiàng)；若是數(shù)列中的項(xiàng)，由，得，取，得，此時(shí)，由得，即可求出結(jié)果.

（1）當(dāng)時(shí)，由已知得

于是

由得：

于是

由得：

由，，可得，，又

所以數(shù)列和分別是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列

，即時(shí)，

，即時(shí)，

∴

（2）當(dāng)時(shí)，由可得，

所以數(shù)列和分別是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列

由題設(shè)知，記，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，而為偶數(shù)

不是數(shù)列中的項(xiàng)，只可能是中的項(xiàng)

若是數(shù)列中的項(xiàng)，由，得

取，得，此時(shí)

由得，即

故是數(shù)列中的第項(xiàng)

【點(diǎn)精】

本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，同時(shí)也考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，本題屬于中檔題.