Question

13．F₁、F₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的兩個焦點，P在雙曲線上且滿足|PF₁|•|PF₂|=$\frac{64}{3}$，則∠F₁PF₂=120°．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的標準方程求出焦點坐標，結合余弦定理進行求解即可．

解答 解：由雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1知a=3，b=4，c=5，
則F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），則|F₁F₂|=10；
點P在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上，不妨設點P在右支上，
則|PF₁|-|PF₂|=6，
平方得（|PF₁|-|PF₂|）²=36，
即|PF₁|²-2|PF₁||PF₂|+|PF₂|²=36；
因為|PF₁|•|PF₂|=$\frac{64}{3}$，
所以|PF₁|²+|PF₂|²=$\frac{236}{3}$，
又由余弦定理得cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$=$\frac{\frac{236}{3}-100}{2×\frac{64}{3}}$=-$\frac{1}{2}$，
所以∠F₁PF₂=120°．
故答案為：120°．

點評 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)的應用，根據(jù)雙曲線的定義結合余弦定理是解決本題的關鍵．考查學生的運算和轉化能力．