已知點(diǎn)An(xn，yn)(n∈N+，xn≠0)在拋物線y＝x2上，過An點(diǎn)的拋物線的切線ln交x軸于點(diǎn)Bn＋1(xn＋1，0)．設(shè)x1＝1，

(1)

求切線l1的方程

(2)

求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式

(3)

設(shè)bn＝nxn，Sn＝，證明：當(dāng)n＞3時(shí)，Sn＞3．

答案：
解析：

(1)

　　解：∵點(diǎn)A1(x1，y1)在拋物線y=x2上，且x1=1，∴y1=1，即A點(diǎn)坐標(biāo)是(1，1)．

　　又∵l1的斜率為=2，

　　∴l(xiāng)1的方程為2x－y－1=0．

　　分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線ln的斜率關(guān)于切點(diǎn)坐標(biāo)的表達(dá)式

(2)

　　∵An在拋物線上，∴yn=，∴點(diǎn)An(xn，)．

　　∵ln的斜率為｜=2xn，又直線ln過An、Bn+1兩點(diǎn)，

　　∴=2xn

　　∴，∴{xn}是以x1=1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．∴xn=

　　分析：由斜率公式得數(shù)列{xn}的遞推關(guān)系．

(3)

　　∵bn=n·，∴Sn=1＋2·＋3·＋…＋n·　　　　�、�

　　Sn=＋2·＋3·＋…＋(n－1)·＋n·　　②

　　①－②，得Sn=1＋＋＋＋…＋－n·，

　　∴Sn＝4

　　∵當(dāng)＞3時(shí)，，∴數(shù)列是遞減數(shù)列．

　　又?jǐn)?shù)列也是遞減數(shù)列∴Sn是一個(gè)遞增數(shù)列，故當(dāng)n＞3時(shí)，Sn≥S4=

　　點(diǎn)評(píng)：當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)所成的數(shù)列的通項(xiàng)與曲線的切線相關(guān)時(shí)，可利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于切點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，設(shè)法得到數(shù)列的通項(xiàng)．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知點(diǎn)列B1（1，y1）、B2（2，y2）、…、Bn（n，yn）（n∈N）順次為一次函數(shù)y=
1
4
x+
1
12
圖象上的點(diǎn)，點(diǎn)列A1（x1，0）、A2（x2，0）、…、An（xn，0）（n∈N）順次為x軸正半軸上的點(diǎn)，其中x1=a（0＜a＜1），對(duì)于任意n∈N，點(diǎn)An、Bn、An+1構(gòu)成以
Bn為頂點(diǎn)的等腰三角形．
（1）求{yn}的通項(xiàng)公式，且證明{yn}是等差數(shù)列；
（2）試判斷xn+2-xn是否為同一常數(shù)（不必證明），并求出數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
（3）在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此時(shí)a值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)Bn（n，yn），…（n∈N+）是某直線l上的點(diǎn)，以Bn為圓心作圓．所作的圓與x軸交于An和An+1兩點(diǎn)，記An、An+1的橫坐標(biāo)分別為xn、xn+1．其中x1=a（0＜a≤1）
（1）證明：xn+2-xn是常數(shù)，并求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
（2）若l的方程為y=
1
4
x+
1
12
，試問在△AnBnAn+1(n∈N+)中是否存在直角三角形，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)列B1（1，y1）、B2（2，y2）、…、Bn（n，yn）（n∈N）順次為一次函數(shù)y=
1
4
x+
1
12
圖象上的點(diǎn)，點(diǎn)列A1（x1，0）、A2（x2，0）、…、An（xn，0）（n∈N）順次為x軸正半軸上的點(diǎn)，其中x1=a（0＜a＜1），對(duì)于任意n∈N，點(diǎn)An、Bn、An+1構(gòu)成一個(gè)頂角的頂點(diǎn)為Bn的等腰三角形．
（1）求數(shù)列{yn}2的通項(xiàng)公式，并證明{yn}3是等差數(shù)列；
（2）證明xn+2-xn5為常數(shù)，并求出數(shù)列{xn}6的通項(xiàng)公式；
（3）問上述等腰三角形An8Bn9An+110中，是否存在直角三角形？若有，求出此時(shí)a值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出以下四個(gè)命題，所有真命題的序號(hào)為
 
．
①從總體中抽取的樣本（x1，y1），（x2，y2），L，（xn，yn），若記
.
x
=
1
n
∑i=1nxi，
.
y
=
1
n
∑i=1nyi，則回歸直線y=bx+a必過點(diǎn)（
.
x
，
.
y
）
②將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移
π
3
個(gè)單位，得到函數(shù)y=sin(2x-
π
6
)的圖象；
③已知數(shù)列an，那么“對(duì)任意的n∈N*，點(diǎn)Pn（n，aa）都在直線y=2x+1上”是{an}為等差數(shù)列的“充分不必要條件”
④命題“若x≥2，則x≥2或x≤-2”的否命題是“若{x}≥2，則-2＜x＜2”

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