Question

已知向量

m

=（sinB，1-cosB），向量

n

=（2，0），且

m

與

n

的夾角為

π

3

，

m

•

n

=1其中A，B，C是△ABC的內(nèi)角．
（1）求角B的大��；
（2）求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由向量

m

=（sinB，1-cosB），向量

n

=（2，0），且

m

與

n

的夾角為

π

3

，且

m

•

n

=1，我們可以構(gòu)造一個關(guān)于角B的三角方程，解方程后，即可求出一個關(guān)于B的三角函數(shù)，結(jié)合B的取值范圍，即可求出B的大小；
（2）由（1）的結(jié)論，我們可得A+C=

π

3

，則sinA+sinC=sin(A+

π

3

)，然后結(jié)合A的取值范圍，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，我們即可求出sinA+sinC的取值范圍

解答：解：（1）∵

m

=（sinB，1-cosB）與向量

n

=（2，0）所成角為

π

3

，
∴

m

•

n

=2sinB=

sin2B+(1-cosB)2

×2×cos

π

3

，
∴

3

sinB+cosB=1，
即sin(B+

π

6

)=

1

2

又∵0＜B＜π，∴

π

6

＜B+

π

6

＜

7π

6

∴B+

π

6

=

5π

6

∴B=

2π

3

；
（2）由（1）知，B=

2π

3

，
∴A+C=

π

3

∴sinA+sinC=sinA+sin(

π

3

-A)=

1

2

sinA+

3

2

cosA=sin(A+

π

3

)
∵0＜A＜

π

3

，
∴

π

3

＜A+

π

3

＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin(A+

π

3

)≤1，
∴sinA+sinC∈(

3

2

，1]．

點評：cosθ=

a • b

| a |•| b |

是向量中求夾角的唯一公式，要求大家熟練掌握．函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A確定，由周期由ω決定，即要求三角函數(shù)的周期與最值一般是要將其函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)，再根據(jù)最大值為|A|，最小值為-|A|，周期T=

2π

ω

進(jìn)行求解．如果求其在區(qū)間上的值域和最值，則要結(jié)合圖象進(jìn)行討論．