Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)A（1，0），B（0，﹣2），點(diǎn)C滿足，其中m，n∈R且m﹣2n=1．

（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)C的軌跡與雙曲線（a＞0，b＞0且a≠b）交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓過原點(diǎn)，求證：為定值；

（3）在（2）的條件下，若雙曲線的離心率不大于，求雙曲線實(shí)軸長的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：

直線與圓錐曲線的綜合問題；軌跡方程；雙曲線的簡單性質(zhì)．

專題：

計(jì)算題．

分析：

（1）由向量等式，得點(diǎn)C的坐標(biāo)，消去參數(shù)即得點(diǎn)C的軌跡方程；

（2）將直線與雙曲線方程組成方程組，利用方程思想，求出x₁x₂+y₁y₂，再結(jié)合向量的垂直關(guān)系得到關(guān)于a，b的關(guān)系，化簡即得結(jié)論．

（3）由（2）得從而又e得出．解得雙曲線實(shí)軸長2a的取值范圍即可．

解答：

解：（1）設(shè)C（x，y），∵

∴（x，y）=m（1，0）+n（0，﹣2）．

∴∵m﹣2n=1，

∴x+y=1

即點(diǎn)C的軌跡方程為x+y=1（15分）

（2）由得（b²﹣a²）x²+2a²x²﹣a²﹣a²b²=0

由題意得（8分）

設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

則

∵以MN為直徑的圓過原點(diǎn)，∴．即x₁x₂+y₁y₂=0．

∴x₁x₂+（1﹣x₁）（1﹣x₂）=1﹣（x₁+x₂）+2x₁x₂=．即b²﹣a²﹣2a²b²=0．

∴為定值．（14分）

（3）∵

∴

∵e∴．

∴

解得：0＜a≤，0＜2a≤1

∴雙曲線實(shí)軸長的取值范圍是（0，1]．

點(diǎn)評：

本小題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、求曲線的方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運(yùn)算能力．