Question

如圖所示，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝AC＝，側(cè)棱AA₁與底面ABC成60°角，∠BAA₁＝∠CAA₁，BC＝AA₁＝2，又點M是BC的中點，點O是AM的中點．

(1)求證：A₁O⊥平面ABC；

(2)求二面角A₁－AC－B的大��；

(3)求點B到平面C₁AM的距離．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：A1在底面ABC上的射影H必在∠BAC的平分線AM上， 　　H為AM的中點， 　　即H與O重合，故A1O⊥平面ABC；　　4分 　　(2)如圖，過O作ON⊥AC于N，連A1N，由三垂線定理知 　　∠ONA1就是二面角A1－AC－B的平面角， 　　在Rt△ONA1中，ON＝， 　　 　　(3)如圖，過C作CP∥AM，且CP＝AO，延長AM至Q， 　　使MQ＝AO，連PQ，則平行四邊形PQMC，則點B到平面C1AM的距離＝點C到平面C1AM的距離＝點P到平面C1AM的距離d， 　　 　　PQ⊥平面C1AM，又PQ平面C1PQ， 　　平面C1PQ⊥平面C1AM， 　　過P作PS⊥C1Q于S，則PS⊥平面C1AM， 　　即PS就是點P到平面C1AM的距離d， 　　在△C1PQ中， 　　．　　12分 　　故點B到平面C1AM的距離為． 　　(第(2)(3)問用向量坐標法按相應(yīng)步驟給分)