已知橢圓：，
（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）的條件下，設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且為銳角（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍；
（3）過原點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線與橢圓：相交于四點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)到四邊形的一邊距離為，試求時滿足的條件.
（1）；（2）；（3）.

試題分析：（1）利用已知條件找出解出、即得；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組消去得到關(guān)于的方程，由求出的范圍；（3）設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程組消去到關(guān)于的方程，利用、韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線的距離公式求解.
試題解析：（1）依題意，，解得，故橢圓的方程為.
（2）如圖，依題意，直線的斜率必存在，

設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立方程組，消去整理得，
由韋達(dá)定理，，，
,
因?yàn)橹本�與橢圓相交，則，
即，解得或，
當(dāng)為銳角時，向量，則，
即，解得，
故當(dāng)為銳角時，.
如圖，

依題意，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，，由于，
，即，又，
          ①
聯(lián)立方程組，消去得，
由韋達(dá)定理得，，代入①得
，
令點(diǎn)到直線的距離為1，則，即，
，
整理得.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左、右焦瞇分別為F1，F(xiàn)2，且｜F1F2｜＝2，點(diǎn)P（1，）在橢圓C上.
（I）求橢圓C的方程；
（II）過F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且的面積為，求直線l的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓長軸的左右端點(diǎn)分別為A，B，短軸的上端點(diǎn)為M，O為橢圓的中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且·＝1，｜｜＝1．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，問：是否存在直線l，使得點(diǎn)F恰為△PQM的垂心?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)的軌跡為,直線與交于兩點(diǎn).
(1)寫出的方程;
(2)若點(diǎn)在第一象限,證明當(dāng)時,恒有.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距為4，且與橢圓x2＋＝1有相同的離心率，斜率為k的直線l經(jīng)過點(diǎn)M(0,1)，與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)當(dāng)橢圓C的右焦點(diǎn)F在以AB為直徑的圓內(nèi)時，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的右焦點(diǎn)為 ，為橢圓的上頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)和短軸的兩端構(gòu)成邊長為的正方形.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在直線交與橢圓于， ，且使，使得為的垂心，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知雙曲線與橢圓共頂點(diǎn)，且焦距是6，此雙曲線的漸近線是（  ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

過橢圓的左焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，分別交橢圓于四點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為（   ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

橢圓的離心率為，則k的值為（    ）
A．－21B．21C．或21D．或21

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同步練習(xí)冊答案