【題目】已知函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=loga ,(a>0且a≠1).記F(x)=2f(x)+g(x).
(1)求函數(shù)F(x)的零點(diǎn);
(2)若關(guān)于x的方程F(x)﹣2m2+3m+5=0在區(qū)間[0,1)內(nèi)僅有一解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解:F(x)=2f(x)+g(x)= (a>0且a≠1),
要使函數(shù)F(x)有意義,則必須 ,解得﹣1<x<1,
∴函數(shù)F(x)的定義域?yàn)镈=(﹣1,1).
令F(x)=0,則 …(*)
方程變?yōu)? ,
∴(x+1)2=1﹣x,即x2+3x=0
解得x1=0,x2=﹣3,
經(jīng)檢驗(yàn)x=﹣3是(*)的增根,
∴方程(*)的解為x=0,
∴函數(shù)F(x)的零點(diǎn)為0
(2)解:函數(shù) 在定義域D上是增函數(shù),可得:
①當(dāng)a>1時(shí),F(xiàn)(x)=2f(x)+g(x)在定義域D上是增函數(shù),
②當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)F(x)=2f(x)+g(x)在定義域D上是減函數(shù).
因此問(wèn)題等價(jià)于關(guān)于x的方程2m2﹣3m﹣5=F(x)在區(qū)間[0,1)內(nèi)僅有一解.
①當(dāng)a>1時(shí),由(2)知,函數(shù)F(x)在[0,1)上是增函數(shù),
∴F(x)∈[0,+∞),
∴只需2m2﹣3m﹣5≥0,解得:m≤﹣1,或 .
②當(dāng)0<a<1時(shí),由(2)知,函數(shù)F(x)在[0,1)上是減函數(shù),
∴F(x)∈(﹣∞,0],
∴只需2m2﹣3m﹣5≤0解得: ,
綜上所述,當(dāng)0<a<1時(shí): ;
當(dāng)a>1時(shí),m≤﹣1,或
【解析】(1)利用對(duì)數(shù)函數(shù)和分式函數(shù)的定義域即可得出F(x)其定義域,利用零點(diǎn)的意義和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出;(2)對(duì)a分類討論可得函數(shù)F(x)的單調(diào)性,進(jìn)而問(wèn)題等價(jià)于關(guān)于x的方程2m2﹣3m﹣5=F(x)在區(qū)間[0,1)內(nèi)僅有一解.再利用一元二次不等式的解法即可得出.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解函數(shù)的定義域及其求法(求函數(shù)的定義域時(shí),一般遵循以下原則:①是整式時(shí),定義域是全體實(shí)數(shù);②是分式函數(shù)時(shí),定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù);③是偶次根式時(shí),定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合;④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí),底數(shù)須大于零且不等于1,零(負(fù))指數(shù)冪的底數(shù)不能為零),還要掌握函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系(二次函數(shù)的零點(diǎn):(1)△>0,方程 有兩不等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);(2)△=0,方程 有兩相等實(shí)根(二重根),二次函數(shù)的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn);(3)△<0,方程 無(wú)實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與 軸無(wú)交點(diǎn),二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn))的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.
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B.4x﹣3y﹣19=0
C.3x﹣4y﹣16=0
D.3x+4y﹣8=0
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(1)求a的值;
(2)證明f(x)是R上的增函數(shù).
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【題目】已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,直線相交于點(diǎn),且它們的斜率之積是,點(diǎn)的軌跡為曲線.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作直線交曲線于兩點(diǎn),交軸于點(diǎn),若, ,證明: 為定值.
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【題目】下列函數(shù)中,圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱且在定義域上為增函數(shù)的是( )
A.
B.f(x)=2x﹣1
C.
D.f(x)=﹣x3
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【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)閇-1,5],部分對(duì)應(yīng)值如下表, 的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,下列關(guān)于的命題:
-1 | 0 | 4 | 5 | |
1 | 2 | 2 | 1 |
①函數(shù)的極大值點(diǎn)為0,4;
②函數(shù)在[0,2]上是減函數(shù);
③如果當(dāng)時(shí), 的最大值是2,那么t的最大值為4;
④當(dāng)1<a<2時(shí),函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn).
其中正確命題的序號(hào)是__________.
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【題目】已知f(x)=(2x﹣3)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512,且(2x﹣3)n=a0+a1(x﹣1)+a2(x﹣1)2+…+an(x﹣1)n
(1)求a2的值;
(2)求a1+a2+a3+…+an的值.
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【題目】某中學(xué)計(jì)劃派出名女生, 名男生去參加某項(xiàng)活動(dòng),若實(shí)數(shù), 滿足約束條件則該中學(xué)最多派__________.
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