Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=2，對任意的正整數(shù)n都有a_n•a_n+1≠1，a_n•a_n+1•a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，則a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₀₆=

4011

．

Answer 1

分析：分別表示出a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，a_n+1a_n+2a_n+3=a_n+1+a_n+2+a_n+3，兩式相減可推斷出a_n+3=a_n，進而可知數(shù)列{a_n}是以3為周期的數(shù)列，只要看2006是3的多少倍，然后通過a₁=1，a₂=2，求得a₃，而2010是3的668倍余2，故可知S₂₀₀₆=668×（1+2+3）+1+2答案可得．

解答：解：依題意可知，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，a_n+1a_n+2a_n+3=a_n+1+a_n+2+a_n+3，兩式相減得a_n+1a_n+2（a_n+3-a_n）=a_n+3-a_n，
∵a_n+1a_n+2≠1，
∴a_n+3-a_n=0，即a_n+3=a_n，
∴數(shù)列{a_n}是以3為周期的數(shù)列，
∵a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃，∴a₃=3
∴S₂₀₀₆=668×（1+2+3）+1+2=4011
故答案為：4011．

點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推式和數(shù)列的求和問題．本題的關(guān)鍵是找出數(shù)列的周期性．