Question

15、定義在R上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且f（x）=（2-x），在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)遞減函數(shù)．關(guān)于函數(shù)f（x）有下列結(jié)論：
①圖象關(guān)于直線x=1對稱；②最小正周期是2；
③在區(qū)間[-2，-1]上是減函數(shù)；④在區(qū)間[-4，4]上的零點最多有5個．
其中正確的結(jié)論序號是

①③④

．（把所有正確結(jié)論的序號都填上）

Answer 1

分析：①由f（x）=（2-x），可知正確．
②由“函數(shù)f（x）是奇函數(shù)和f（x）=-f（-x）”可推知f（x+2）=-f（x）不符合周期函數(shù)定義．
③由奇偶性質(zhì)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性判斷．
④研究對稱區(qū)間上即可，f（0）=0，不妨設(shè)f（1）=0，因為函數(shù)在[1，2]上單調(diào)減，所以只有一個，再由f（x+2）=-f（x）知f（3）=0，在[3，4]只有一個，可知正確．

解答：解：①∵f（x）=（2-x），
∴圖象關(guān)于直線x=1對稱，正確．
②∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
∴f（x）=-f（-x）
∵f（x）=（2-x），
f（x+2）=-f（x）
不具有周期性．不正確
③∵在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)遞減函數(shù)，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
∴在區(qū)間[-2，-1]上是減函數(shù)，正確．
④由函數(shù)是奇函數(shù)，當x=0時，f（0）=0，
不妨設(shè)f（1）=0，因為函數(shù)在[1，2]上單調(diào)減，所以只有一個，
由f（x+2）=-f（x）知f（3）=f（2+1）=-f（1）=0
則在[3，4]只有一個，
所以最多有5個零點，正確
故答案為：①③④

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，周期性和對稱性，綜合性很強，應(yīng)分清思路，耐心解決．