Question

設函數f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數．
（1）若f（1）＞0，試求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集；
（2）若f（1）=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求m的值．

Answer 1

（1）∵f（x）是定義域為R的奇函數，∴f（0）=0，可k-1=0，即k=1，
故f（x）=a^x-a^-x（a＞0，且a≠1）
∵f（1）＞0，∴a-

1

a

＞0，又a＞0且a≠1，∴a＞1．
f′（x）=a^xlna+

lna

ax

∵a＞1，∴l(xiāng)na＞0，而a^x+

1

ax

＞0，
∴f′（x）＞0，∴f（x）在R上單調遞增
原不等式化為：f（x²+2x）＞f（4-x），
∴x²+2x＞4-x，即x²+3x-4＞0
∴x＞1或x＜-4，
∴不等式的解集為{x|x＞1或x＜-4}．
（2）∵f（1）=

3

2

，∴a-

1

a

=

3

2

，即2a²-3a-2=0，∴a=2或a=-

1

2

（舍去）．
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，由（1）可知f（x）=2^x-2^-x為增函數
∵x≥1，∴t≥f（1）=

3

2

，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²�。╰≥

3

2

）
若m≥

3

2

，當t=m時，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2
若m＜

3

2

，當t=

3

2

時，h（t）_min=

17

4

-3m=-2，
解得m=

25

12

＞

3

2

，舍去
綜上可知m=2．