Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1﹙a＞0，b＞0﹚，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是其左右焦點，若橢圓的離心率為

1

2

，橢圓的焦點到相應準線的距離為3，
（1）求橢圓的標準方程；
（2）橢圓上是否存在一點M，使點M到其左準線的距離MN是MF₁，MF₂的等比中項？若存在，求出該點的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題設條件推導出

c a = 1 2 a2 c -c=3

，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）解決此類存在性問題是先假設存在適合題意的點，然后進行推理，看能不能推出矛盾．題中涉及到與焦點F₁、F₂的距離，可考慮應用橢圓的兩個定義．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1﹙a＞0，b＞0﹚，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是其左右焦點，
橢圓的離心率為

1

2

，橢圓的焦點到相應準線的距離為3，
∴

c a = 1 2 a2 c -c=3

，解得a=2，c=1，∴b=

3

，
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設|MN|=t（t＞0），由橢圓的第二定義知|MF₁|MN=e|MN|=et，
又由橢圓第一定義知|MF₁|+|MF₂|=2a，
∴|MF₂|=2a-et，
若點M存在，則|MN|²=|MF₁|•|MF₂|，
∴t²=et•（2a-et），
∵t≠0，∴t=

2ae

1+e2

=

2×2× 1 2

1+ 1 4

=

8

5

，
∵橢圓C上有點到左準線的最短距離是橢圓左頂點到左準線的距離，
即

a2

c

-a=4-2=2，
而|MN|=t=

8

5

＜2，
∴點M不存在．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查點的存在性問題的確定，解題時要認真審題，注意橢圓的兩個定義的靈活運用．