Question

（2010•廣州模擬）已知函數(shù)f(x)=cos(3x+

π

2

 )(x∈R)，給出如下結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的最小正周期為

2π

3

；  ②函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；  ③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(

π

3

，0)對(duì)稱；④函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

3

]上是減函數(shù)．
其中正確命題的序號(hào)是

①②③

．（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：求出函數(shù)的周期判斷①的正誤；
利用函數(shù)的奇偶性判斷②的正誤；
把x=

π

3

代入函數(shù)求出函數(shù)的值是否為0，判斷③的正誤；
求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間判斷④的正誤．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=cos(3x+

π

2

 )(x∈R)，
所以函數(shù)的周期是T=

2π

3

，所以①正確；
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=cos(3x+

π

2

 )(x∈R)，
所以f(x)=cos(3x+

π

2

)=-sin3x，
f（-x）=-sin（-3x）=sin3x=-f（x），
函數(shù)是奇函數(shù)，②正確；
當(dāng)x=

π

3

時(shí)，f（

π

3

）=-sin（3×

π

3

）=-sinπ=0，
函數(shù)所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(

π

3

，0)對(duì)稱，正確；
因?yàn)閒（x）=-sin3x，3x∈[-

π

2

，

π

2

]，即x∈[-

π

6

，

π

6

]時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

3

]上是減函數(shù)不正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性，考查計(jì)算能力，基本知識(shí)的靈活運(yùn)用能力．