Question

一半徑為2m的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1m；已知水輪按逆時針做勻速轉(zhuǎn)動，每3s轉(zhuǎn)一圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點P₀）開始計算時間．
（1）試建立適當?shù)淖鴺讼�，將點P距離水面的高度h（m）表示為時間t（s）的函數(shù)；
（2）點P第一次到達最高點大約要多長時間？
（3）記f（t）=h，求證：不論t為何值，f （t）+f （t+1）+f （t+2）是定值．

Answer 1

解：（1）以水輪所在平面與水面的交線為x軸，以過點O且與水面垂直的直線為y軸，
建立如圖所示的直角坐標系，設h=Asin（ωt+?）+k，（-＜?＜0），
則A=2，k=1，
∵T=3=，
∴ω=
∴h=2sin（t+?）+1，
∵t=0，h=0，
∴0=2sin?+1，
∴sin?=-，
∵-＜?＜0，
∴?=-，
∴h=2sin（t-）+1
（2）令2sin（t-）+1=3，得sin（t-）=1，
∴t-=，
∴t=1，
∴點P第一次到達最高點大約要1s的時間；
（3）由（1）知：f （t）=2sin（t-）+1=sint-cost+1，
f （t+1）=2sin（t+）+1=2cost+1，
f （t+2）=2sin（t+）+1=-sint-cost+1，
∴f （t）+f （t+1）+f （t+2）=3（為定值）．
分析：（1）先根據(jù)h的最大和最小值求得A和k，利用周期求得ω，當t=0時，h=0，進而求得φ的值，則函數(shù)的表達式可得；
（2）令最大值為3，可得三角函數(shù)方程，進而可求點P第一次到達最高點的時間；
（3）由（1）可求：f （t），f （t+1），f （t+2），進而可求f （t）+f （t+1）+f （t+2）是定值．
點評：本題以實際問題為載體，考查三角函數(shù)模型的構(gòu)建，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是構(gòu)建三角函數(shù)式，利用待定系數(shù)法求得．