Question

數(shù)1，3，6，10，15，21…，這些數(shù)量的石子，都可以排成三角形，像這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)．如圖所示：

將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列{a_n}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{b_n}．可以推測：
（Ⅰ）b₂₀₁₄是數(shù)列{a_n}中的第

 

項；   
（Ⅱ）b_2k-1=

 

．（用k表示）．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：規(guī)律型,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）通過歸納分析，三角形數(shù)是從l開始的連續(xù)自然數(shù)的和，得a_n=

n(n+1)

2

；
被5整除的數(shù)是5、10、15、20，…，第i個數(shù)是5i；
求出能同時滿足兩個式子的數(shù)，組成數(shù)列{b_n}．
（Ⅱ）由{b_2k-1}：10，45，105，190，…；歸納猜想b_2k-1=

5k(5k-1)

2

．

解答： 解：（Ⅰ）三角形數(shù)是從l開始的連續(xù)自然數(shù)的和，得a_n=

n(n+1)

2

n∈N^*；
被5整除的數(shù)是5、10、15、20，…，第i個數(shù)是5i，i∈N^*；
求出能同時滿足兩個式子的數(shù)，組成數(shù)列{b_n}：10，15，45，55，…，∴

n(n+1)

2

=5i
∴n（n+1）=10i
∴n=4，5，9，10，14，15，19，20，…；
又∵2014÷4=503…余數(shù)是2，
∴b₂₀₁₄=503×10+5=5035；
（Ⅱ）{b_2k-1}：10，45，105，190，…；
∴b_2k-1=

5k(5k-1)

2

．
故答案為：5035，

5k(5k-1)

2

．

點評：本題考查了數(shù)列的應(yīng)用問題，也考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想；解題時應(yīng)認(rèn)真審題，注意總結(jié)規(guī)律，是綜合題．