Question

①如圖，AC為⊙O的直徑，弦BD⊥AC于點P，PC=2，PA=8，則cos∠ACB的值為

5

5

．
②若曲線C1：θ=

π

6

（ρ∈R）與曲線C2：

x=a+ 2 cosθ y= 2 sinθ

(θ為參數，a為常數，a＞0）有兩個交點A、B，且|AB|=2，則實數a的值為

2

．

Answer 1

分析：①本題考查的知識點是與圓相關的比例線段，由AC為⊙O的直徑，弦BD⊥AC于點P，根據射影定理，結合PC=2，PA=8，我們可以求出CD的長，解三角形CDP，即可求出cos∠ACB的值．
②先利用直角坐標與極坐標間的關系，將曲線C₁：θ=

π

6

（ρ∈R）化成直角坐標方程，消去參數將曲線C₂：

x=a+ 2 cosθ y= 2 sinθ

（θ為參數，a為常數，a＞0）化成普通方程，最后利用直角坐標系中直線與圓的位置關系求出其a值即可．

解答：解：①由射影定理得CD²=CP•CA=2×10，
∴CD=2

5

，
則cos∠ACB
=sin∠A
=sin∠D
=

CP

CD

=

2

2 5

=

5

5

．
②曲線C₁：θ=

π

6

（ρ∈R）的直角坐標方程為：x-

3

y=0．
曲線C₂：

x=a+ 2 cosθ y= 2 sinθ

普通方程為：（x-a）²+y²=2．
∵|AB|=2，∴圓心到直線的距離為：1，
即

|a|

1+3

=1，a＞0．
∴a=2．
故答案為：

5

5

； 2

點評：①本小題主要考查圓的有關線段和角，當出現有雙垂直情況時，即在直角三角形出現有斜邊上的高，我們可以利用射影定理分析邊與邊的關系．②本小題主要考查簡單曲線的極坐標方程、圓的參數方程、直線與圓的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題