Question

已知a＞b＞0F是方程的橢圓E的一個焦點，P、A，B是橢圓E上的點，與x軸平行，=，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，，原點O與A、B兩點構(gòu)成的△AOB的面積為S
（I ）求橢圓E的離心率
（II）設(shè)橢圓E上的點與橢圓£的長軸的兩個端點構(gòu)成的三角形的面積的最大值等于2，S是否為定值？如果是，求出這個定值：如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I ）由a＞b＞0，P是橢圓E上的點，與x軸平行，知，由=，知，由此能求出離心率．
（II）由題設(shè)知橢圓E的方程為，若直線AB與x軸垂直，則由橢圓的對稱性得A（x₁，y₁），B（x₁，-y₁），由，知y₁=±2x₁．S=．當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB為：kx-y+m=0，設(shè)A（x₁，kx₁+m），B（x₂，kx₂+m），則，，由，知，由，得（4+k²）x²+2kmx+m²-4=0，再由韋達定理進行求解．
解答：解：（I ）∵a＞b＞0，P是橢圓E上的點，與x軸平行，
∴，
∵=，
∴，
∴，
∴．
（II）∵橢圓E上的點與橢圓E的長軸的兩個端點構(gòu)成的三角形的面積的最大值等于2，
∴ab=2，解方程組，得，
∴橢圓E的方程為．
若直線AB與x軸垂直，則由橢圓的對稱性得A（x₁，y₁），B（x₁，-y₁），
∵，
∴，
即y₁=±2x₁．
此時S=．
當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB為：kx-y+m=0，
設(shè)A（x₁，kx₁+m），B（x₂，kx₂+m），
則，，
∵，
∴，
即（4+k²）x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=0x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=0，
由，得（4+k²）x²+2kmx+m²-4=0，
∴，
∴，
∵（4+k²）x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=0，
∴8m²-4k²-16=0，即mk（x₁+x₂）+m²=0．
∵
=
=．
原點O到kx-y+m=0的距離，
∴．
綜上所述，△AOB的面積是定值，等于1．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要靈活運用韋達定理、點到直線距離公式，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．