Question

已知向量

m

=（

3

sinx，cosx），

n

=（cosx，cosx），

P

=（2

3

，1）．
（1）若

m

∥

p

，求

m

•

n

的值；
（2）若f（x）=

m

•

n

，求f（x）最小正周期及f（x）在（0，

π

3

]的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量共線的坐標(biāo)關(guān)系建立等式，可求出tanx的值，然后根據(jù)數(shù)量積公式表示出

m

•

n

，最后轉(zhuǎn)化成tanx的表達(dá)式，從而可求出所求；
（2）利用二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)化成Asin（ωx+φ）+B的形式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)的周期和值域．

解答：解；（1）若

m

∥

p

，∴

3

sinx-2

3

cosx=0
∴tanx=2    …（3分）
∴

m

•

n

=

3

sinxcosx+cosxcosx
=

3 sinxcosx+cosxcosx

sin2x+cos2x

=

3 tanx+1

tan2x+1

=

2 3 +1

5

  …（6分）
（2）f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，∴T=π                 …（9分）
∵x∈（0，

π

3

]
∴2x+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

]則sin（2x+

π

6

）∈[

1

2

，1]
∴f（x）∈[1，

3

2

]，即函數(shù)f（x）=

m

•

n

的值域?yàn)閇1，

3

2

]…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積，以及二倍角公式和輔助角公式，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．