Question

求和：

C

rr

+

C

rr+1

+

C

rr+2

+…+

C

rn

(r＜n)．

Answer 1

由于

C

rr

+

C

rr+1

+

C

rr+2

+…+

C

rn

 為（1+x）^r+（1+x）^r+1+（1+x）^r+2+…+（1+x）ⁿ 的展開式中x^r的系數(shù)．
而 （1+x）^r+（1+x）^r+1+（1+x）^r+2+…+（1+x）ⁿ=

(1+x)n+1-(1+x)r

x

，
故本題即求（1+x）ⁿ⁺¹的展開式中x^r+1的系數(shù)，顯然，x^r+1的系數(shù)為

C

r+1n+1

，
故

C

rr

+

C

rr+1

+

C

rr+2

+…+

C

rn

=

C

r+1n+1

．