Question

已知數(shù)列{a_n}是各項均不為0的等差數(shù)列，公差為d，S_n 為其前n項和，且滿足a_n²=S_2n-1，n∈N^*．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n=，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式和T_n；
（2）是否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n，成等比數(shù)列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）（法一）在a_n²=S_2n-1，令n=1，n=2，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求a₁=1，d=2，可求通項，而b_n=，結(jié)合數(shù)列通項的特點，考慮利用裂項相消法求和
（法二）：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，=（2n-1）a_n，結(jié)合已知a_n²=S_2n-1，可求a_n，而b_n=，結(jié)合數(shù)列通項的特點，考慮利用裂項相消法求和
（Ⅱ）由（I）可求T₁=，T_m=，T_n=，代入已知可得
法一：由可得，＞0可求m的范圍，結(jié)合m∈N且m＞1可求m，n
法二：由可得，結(jié)合m∈N且m＞1可求m，n
解答：解：（Ⅰ）（法一）在a_n²=S_2n-1，令n=1，n=2可得
即
∴a₁=1，d=2
∴a_n=2n-1
∵b_n===（）
∴）=（1-）=
（法二）∵{a_n}是等差數(shù)列，
∴
∴=（2n-1）a_n
由a_n²=S_2n-1，得a_n²=（2n-1）a_n，
又a_n≠0，
∴a_n=2n-1
∵b_n===（）
∴）=（1-）=
（Ⅱ）∵T₁=，T_m=，T_n=
若T₁，T_m，T_n，成等比數(shù)列，則
即
法一：由可得，＞0
即-2m²+4m+1＞0
∴
∵m∈N且m＞1
∴m=2，此時n=12
∴當(dāng)且僅當(dāng)m=2，n=12時，T₁，T_m，T_n，成等比數(shù)
法二：∵
∴
∴2m²-4m-1＜0
∴
∵m∈N且m＞1
∴m=2，此時n=12
∴當(dāng)且僅當(dāng)m=2，n=12時，T₁，T_m，T_n，成等比數(shù)
點評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項公式及求和公式的綜合應(yīng)用，裂項求和方法的應(yīng)用，本題具有一定的綜合性．