Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-mx+m）•e^x（m∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)m＜0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；并確定此時(shí)f（x）是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閑^x＞0，所以將f（x）有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為g（x）=x²-mx+m二次函數(shù)有零點(diǎn)的問題，即判別式大于等于0，可求解．
（2）對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況判斷原函數(shù)的單調(diào)性可判斷函數(shù)是否有最小值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)f（x）有零點(diǎn)，即函數(shù)g（x）=x²-mx+m有零點(diǎn)，
所以m²-4m≥0，解得m≥4或m≤0．
（Ⅱ）f'（x）=（2x-m）•e^x+（x²-mx+m）•e^x=x（x-m+2）e^x，
令f'（x）=0，得x=0或x=m-2，
因?yàn)閙＜0時(shí)，所以m-2＜0，
當(dāng)x∈（-∞，m-2）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（m-2，0）時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
此時(shí)，f（x）存在最小值．f（x）的極小值為f（0）=m＜0．
根據(jù)f（x）的單調(diào)性，f（x）在區(qū)間（m-2，+∞）上的最小值為m，
解f（x）=0，得f（x）的零點(diǎn)為x1=

m- m2-4m

2

和x2=

m+ m2-4m

2

，
結(jié)合f（x）=（x²-mx+m）•e^x，
可得在區(qū)間（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上，f（x）＞0
因?yàn)閙＜0，所以x₁＜0＜x₂，
并且x1-(m-2)=

m- m2-4m

2

-m+2=

-m+4- m2-4m

2

＞

-m+4- m2-4m+4

2

=

-m+4-|m-2|

2

=

-m+4-(2-m)

2

=1＞0，
即x₁＞m-2，
綜上，在區(qū)間（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上，f（x）＞0，f（x）在區(qū)間（m-2，+∞）上的最小值為m，m＜0，
所以，當(dāng)m＜0時(shí)f（x）存在最小值，最小值為m．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)、極值與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)下放到高中的內(nèi)容，也是高考的熱點(diǎn)問題，每年必考，要求學(xué)生們要給予充分的重視．