【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知點(diǎn)和函數(shù)圖像上動(dòng)點(diǎn),對(duì)任意,直線傾斜角都是鈍角,求的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】試題分析:(1)先求函數(shù)的定義域,然后求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)大于0或?qū)?shù)小于0,得到關(guān)于x的不等式,解之即可;注意解不等式時(shí)要結(jié)合對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象來解;
(2)因?yàn)閷?duì)任意m∈[1,e],直線PM傾斜角都是鈍角,所以問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)值小于0恒成立的問題,對(duì)于導(dǎo)函數(shù)小于0在區(qū)間[1,e]上恒成立,則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,即函數(shù)f′(x)<0恒成立,通過化簡最終轉(zhuǎn)化為f(m)<1在區(qū)間[1,e]上恒成立,再通過研究f(x)在[1,e]上的單調(diào)性求最值,結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)果即可解決問題.注意分類討論的標(biāo)準(zhǔn)的確定.
試題解析:
(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>, ,
當(dāng)時(shí), ,故在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí), ,故在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí), ,解得故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
(2)因?yàn)閷?duì)任意的,直線傾斜角都是鈍角,即對(duì)任意的, ,即,即.
因?yàn)?/span>,令,
(i)當(dāng)時(shí),由(1)知, 在上單調(diào)遞減,則由,故,此時(shí)滿足.
(ii)當(dāng)時(shí),令,得,當(dāng)時(shí),即,函數(shù)在上單調(diào)遞增,故的最大值為,解得與矛盾.
當(dāng)時(shí),即,函數(shù)在上單調(diào)遞減,故的最大值為,得,此時(shí).
當(dāng)時(shí),即,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故在的最大值為或,
所以,即,故,綜上, 的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)函數(shù) ,有下列說法:
①f(x)的周期為4π,值域?yàn)閇﹣3,1];
②f(x)的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱;
③f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱;
④f(x)在 上單調(diào)遞增;
⑤將f(x)的圖象向左平移 個(gè)單位,即得到函數(shù) 的圖象.
其中正確的是 . (填上所有正確說法的序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分10分)已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2=10,a4-a3=2.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式.
(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b2=a3,b3=a7.問:b6與數(shù)列{an}的第幾項(xiàng)相等?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式sin x+cos x>m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)存在實(shí)數(shù)x,不等式sin x+cos x>m有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,直線傾斜角是且過拋物線的焦點(diǎn),直線被拋物線截得的線段長是16,雙曲線: 的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,則直線與軸的交點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離是( )
A. 2 B. C. D. 1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)以橢圓的長軸端點(diǎn)為焦點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)P(5, );
(2)過點(diǎn)P1(3,-4 ),P2(,5).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國家為了鼓勵(lì)節(jié)約用水,實(shí)行階梯用水收費(fèi)制度,價(jià)格參照表如表:
用水量(噸) | 單價(jià)(元/噸) | 注 |
0~20(含) | 2.5 | |
20~35(含) | 3 | 超過20噸不超過35噸的部分按3元/噸收費(fèi) |
35以上 | 4 | 超過35噸的部分按4元/噸收費(fèi) |
(1)若小明家10月份用水量為30噸,則應(yīng)繳多少水費(fèi)?
(2)若小明家10月份繳水費(fèi)99元,則小明家10月份用水多少噸?
(3)寫出水費(fèi)y與用水量x之間的函數(shù)關(guān)系式,并畫出函數(shù)的圖象.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱錐,側(cè)棱,底面三角形為正三角形,邊長為,頂點(diǎn)在平面上的射影為,有,且.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)線段上是否存在點(diǎn)使得⊥平面,如果存在,求的值;如果不存在,請說明理由.
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