Question

對(duì)于函數(shù)f（x），若f（x）=x，則稱x為f（x）的“不動(dòng)點(diǎn)”；若f[f（x）]=x，則稱x為f（x）的“周期點(diǎn)”，函數(shù)f（x）的“不動(dòng)點(diǎn)”和“周期點(diǎn)”的集合分別記為A和B即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）=x]}．
（1）求證：A⊆B
（2）若f（x）=ax²-1（a∈R，x∈R），且A=B≠∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）分A=∅和A≠∅的情況，然后根據(jù)所給“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的定義來(lái)證明．
（II）理解A=B時(shí)，它表示方程ax²-1=x與方程a（ax²-1）²-1=x有相同的實(shí)根，根據(jù)這個(gè)分析得出求出a的值．

解答：證明：（1）?x∈A，即f（x）=x．
則有f[f（x）]=f（x）=x，x∈B
∴A⊆B
（2）∵f（x）=ax²-1
∴f[f（x）]=a（ax²-1）²-1
若f[f（x）]=x，則a（ax²-1）²-1-x=0a（ax²-1）²-1-x=a（ax²-1）²-ax²+ax²-x-1=a[（ax²-1）²-x²]+ax²-x-1=a（ax²-x-1）（ax²+x-1）+ax²-x-1=（ax²-x-1）（a²x²+ax-a+1）
∴B={x|（ax²-x-1）（a²x²+ax-a+1）=0}A={x|ax²-x-1=0}
當(dāng)a=0時(shí)，A={-1}，B={-1}，A=B≠∅
∴a=0符合題意
當(dāng)a≠0時(shí)，當(dāng)A=B≠∅時(shí)，方程ax²-x-1=0有實(shí)根；對(duì)方程a²x²+ax-a+1=0根的情況進(jìn)行分類討論：
①若方程a²x²+ax-a+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則

1+4a＞0 a2-4a2(1-a)＞0 a≠0

此時(shí)a＞

3

4

．此時(shí)兩個(gè)方程沒(méi)有公共解，集合B中有四個(gè)元素．不合題意，舍去．
②若方程a²x²+ax-a+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，則
∴

1+4a≥0 a2-4a2(1-a)=0 a≠0

解得a=

3

4

．此時(shí)方程ax²-x-1=0的兩根分別為-

2

3

 ，  2；a²x²+ax-a+1=0的實(shí)根為x1=x2=-

2

3

．驗(yàn)證得：A=B={-

2

3

 ，  2}．
③若方程a²x²+ax-a+1=0無(wú)實(shí)根，此時(shí)A=B．則

1+4a≥0 a2-4a2(1-a)＜0 a≠0

解得：-

1

4

≤a＜

3

4

且a≠0．
從而所求a的取值范圍為{a|-

1

4

≤a≤

3

4

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)新概念的理解和運(yùn)用的能力，同時(shí)考查了集合間的關(guān)系和方程根的相關(guān)知識(shí)，解題過(guò)程中體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題．