Question

已知正項等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，n∈N^*，且S₂=6，S₆=126．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=

1

log 2 anlog 2 an+1

，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，是否存在實數(shù)λ，使不等式nT_n+1＜λ（n+1）（n+2）對任意的正整數(shù)n都成立？若存在，求出λ的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得S2=

a1(1-q2)

1-q

=6，S6=

a1(1-q6)

1-q

=126，解得q=2．a(chǎn)₁=2，由此能求出a_n=a1qn-1=2ⁿ．
（2）c_n=

1

log 2 anlog 2 an+1

=

1

log 2 2n•log 2 2n+1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，由此利用裂項求和法，結(jié)合已知條件能求出λ的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知得S2=

a1(1-q2)

1-q

=6，①
S6=

a1(1-q6)

1-q

=126，②
∴

①

②

，得：

1-q2

1-q6

=

1-q2

(1-q2)(1+q2+q4)

=

1

21

，
∴q⁴+q²-20=0，
由q＞0，解得q=2．
∴a₁=2，∴a_n=a1qn-1=2ⁿ．
（2）c_n=

1

log 2 anlog 2 an+1

=

1

log 2 2n•log 2 2n+1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

1

4

(1-

1

n+1

)
=

n

4(n+1)

，
∵nT_n+1＜λ（n+1）（n+2），n∈N^*，
∴λ＞

n• n+1 4(n+2)

(n+1)(n+2)

=

n

4(n+2)2

=

1

4n+ 16 n +16

，
∵n∈N^*，∴4n+

16

n

≥2

4n• 16 n

=16，
當(dāng)且僅當(dāng)4n=

16

n

時，即n=2時，等號成立，
∴λ＞

1

16+16

=

1

32

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．