Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁≠

1

4

，且a_n+1=

1 2 an n是偶 an+ 1 4 n是奇

，記b_n=a_2n-1-

1

4

，n=1，2，3…
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）判斷數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）求

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n）

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題設(shè)條件，分別令n=1，2，能夠求出a₂和a₃．
（II）由a₄=a₃+

1

4

=

1

2

a+

3

8

，知a₅=

1

2

a₄=

1

4

a+

3

16

，所以b₁=a₁-

1

4

=a-

1

4

，b₂=a₃-

1

4

=

1

2

（a-

1

4

），b₃=a₅-

1

4

=

1

4

（a-

1

4

），猜想：{b_n}是公比為

1

2

的等比數(shù)列．再用題設(shè)條件進(jìn)行證明．
（III）

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n）=

lim

n→∞

lim

n→∞

b1(1- 1 2n )

1- 1 2

=

b1

1- 1 2

，由此能求出其結(jié)果．

解答：解：（I）a₂=a₁+

1

4

=a+

1

4

，a₃=

1

2

a₂=

1

2

a+

1

8

；
（II）∵a₄=a₃+

1

4

=

1

2

a+

3

8

，所以a₅=

1

2

a₄=

1

4

a+

3

16

，
所以b₁=a₁-

1

4

=a-

1

4

，b₂=a₃-

1

4

=

1

2

（a-

1

4

），b₃=a₅-

1

4

=

1

4

（a-

1

4

），
猜想：{b_n}是公比為

1

2

的等比數(shù)列•
證明如下：
因?yàn)閎_n+1=a_2n+1-

1

4

=

1

2

a_2n-

1

4

=

1

2

（a_2n-1-

1

4

）=

1

2

b_n，（n∈N*）
所以{b_n}是首項(xiàng)為a-

1

4

，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
（III）

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n）=

lim

n→∞

lim

n→∞

b1(1- 1 2n )

1- 1 2

=

b1

1- 1 2

=2（a-

1

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的極限和運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的合理運(yùn)用．