Question

（2012•寶雞模擬）某休閑會(huì)館擬舉行“五一”慶祝活動(dòng)，每位來賓交30元的入場(chǎng)費(fèi)，可參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)．抽獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)則是：從一個(gè)裝有分值分別為1，2，3，4，5，6的六個(gè)相同小球的抽獎(jiǎng)箱中，有放回的抽取兩次，每次抽取一個(gè)球，規(guī)定：若抽得兩球的分值之和為12分，則獲得價(jià)值為m元的禮品；若抽得兩球的分值之和為11分或10分，則獲得價(jià)值為100元的禮品；若抽得兩球的分值之和低于10分，則不獲獎(jiǎng)．
（1）求每位會(huì)員獲獎(jiǎng)的概率；
（2）假設(shè)這次活動(dòng)會(huì)館既不賠錢也不賺錢，則m應(yīng)為多少元？

Answer 1

分析：（1）兩次抽取的球的分值構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)共有36對(duì)，其中分值之和為12的有1對(duì)，分值之和為11的有兩對(duì)，分值之和為10的有3對(duì)，由此能求出每位會(huì)員獲獎(jiǎng)的概率．
（2）設(shè)每位來賓抽獎(jiǎng)后，休閑賓館的獲利的元數(shù)為隨機(jī)變量ξ，則ξ的可能取值為30-m、-70、30．分別求出相應(yīng)的概率，能求賓館獲利的期望Eξ．這次活動(dòng)會(huì)館既不賠錢也不賺錢，則Eξ=0，由此能求出m．

解答：解：（1）兩次抽取的球的分值構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)共有36對(duì)，
其中分值之和為12的有1對(duì)，分值之和為11的有兩對(duì)，分值之和為10的有3對(duì)，
所以每位會(huì)員獲獎(jiǎng)的概率為p=

1+2+3

36

=

1

6

．（4分）
（2）設(shè)每位來賓抽獎(jiǎng)后，休閑賓館的獲利的元數(shù)為隨機(jī)變量ξ，
則ξ的可能取值為30-m、-70、30．（5分）
P(ξ=30-m)=

1

36

，
P(ξ=-70)=

2+3

36

=

5

36

，
P(ξ=30)=1-P(ξ=-70)-P(ξ=30-m)=

5

6

，（8分）
則賓館獲利的期望為Eξ=

1

36

•(30-m)+

5

36

×(-70)+

5

6

×30=

580-m

36

．
若這次活動(dòng)會(huì)館既不賠錢也不賺錢，
則Eξ=0，即

580-m

36

=0，
所以，m=580．（11分）
答：（1）每位會(huì)員獲獎(jiǎng)的概率為

1

6

；（2）假設(shè)這次活動(dòng)會(huì)館既不賠錢也不賺錢，m應(yīng)為580元．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，解題時(shí)要認(rèn)真審題，理解古典概型的特征：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，體現(xiàn)了化歸的重要思想．