已知橢圓C1
x2
5
+
y2
2
=1和圓C:x2+y2=4,且圓C與x軸交于A1,A2兩點.
(1)設(shè)橢圓C1的右焦點為F,點P的圓C上異于A1,A2的動點,過原點O作直線PF的垂線交橢圓的右準線交于點Q,試判斷直線PQ與圓C的位置關(guān)系,并給出證明;
(2)設(shè)點M(x0,y0)在直線x+y-3=0上,若存在點N∈C,使得∠OMN=60°(O為坐標原點),求x0的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)橢圓方程可求得焦點坐標和右準線方程,設(shè)點P,代入圓方程求得x0,y0的關(guān)系,進而表示出直線PF,OQ的斜率,進而可推斷出直線OQ的方程,把x=2
2
代入求得y,求得Q點的坐標,進而求得PQ的斜率的表達式,結(jié)果與OP的斜率乘積為-1,推斷出OP⊥PQ進而可知直線P與圓C相切
(2)設(shè)∠OMN=θ,則依題意可知θ≥60°,進而求得sinθ的范圍,根據(jù)ON=2確定OM的范圍,進而根據(jù)點M在直線l上,求得x0,y0的關(guān)系式,進而根據(jù)x02+y02
16
3
,求得x0的取值范圍.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)直線P與圓C相切.
證明如下:易得橢圓C1的右焦點為F(
2
,0),
右準線為x=2
2

設(shè)點P(x0,y0)則有x02+y02=4,
又kPF=
y0
x0-
2
,kOQ=-
x0-
2
y0

∴直線OQ的方程為y=
x0-
2
y0
x
令x=2
2
,得y=-
2
2
(x0-
2
)
y0
,
即Q(2
2
,-
2
2
(x0-
2
)
y0

∴kPQ=
y0+
2
2
(x0-
2
)
y0
x0-2
2
=-
x0(x0-2
2
)
y0(x0-2
2)
=-
x0
y0
又kOP=
y0
x0

于是有kPQ•kOP=-1,故OP⊥PQ,直線P與圓C相切
(2)如圖,設(shè)∠OMN=θ,則θ≥60°,
即sinθ≥
3
2
,即
ON
OM
3
2

而ON=2,∴OM≤
4
3

∵M(x0,y0),∴x02+y02
16
3
,
又由M(x0,y0)∈l,得x0+y0=3,
∴y0=3-x0,于是有x02+(3-x02
16
3
,
整理,得6x02-18x0+11≤0,
解得
9-
15
6
≤x0
9+
15
6

∴x0的取值范圍是[
9-
15
6
,
9+
15
6
]
點評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識體系的重點內(nèi)容,問題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等,而不同的解題途徑其運算量繁簡差別很大,故此類問題能有效地考查考生分析問題、解決問題的能力,故應(yīng)作為平時復(fù)習(xí)的重點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1與橢圓
x2
5
+
y2
2
=1
有相同的焦點,且過點(1,
3
2
)

(1)求橢圓C1的標準方程;
(2)若P是橢圓C1上一點,F(xiàn)1、F2為橢圓C1的左、右焦點,PF1⊥PF2,求△PF1F2的面積.

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