Question

在正三棱錐S-ABC中，M、N分別為棱SC、BC的中點，且MN⊥AM，SA=2，則此三棱錐S-ABC外接球的表面積為________．

Answer 1

36π
分析：由題意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對角線就是球的直徑，求出直徑即可求出球的表面積．
解答：解：∵三棱錐S-ABC正棱錐，∴SB⊥AC（對棱互相垂直）∴MN⊥AC，
又∵M(jìn)N⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC，
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，
∴2R=2 ，∴R=3，∴S=4πR²=4π•（3）²=36π，
故答案為：36π．
點評：本題是中檔題，考查三棱錐的外接球的表面積，考查空間想象能力；三棱錐擴(kuò)展為正方體，它的對角線長就是外接球的直徑，是解決本題的關(guān)鍵．