設(shè)f(x)=-x3+x2+2ax.
(1)若f(x)在(,+∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,求a的取值范圍.
(2)當(dāng)0<a<2時(shí),f(x)在[1,4]上的最小值為-,求f(x)在該區(qū)間上的最大值.
(1) a>-    (2) f(x)max=
(1)f(x)=-x3+x2+2ax,
∴f'(x)=-x2+x+2a,當(dāng)x∈[,+∞)時(shí),f'(x)的最大值為f'()=+2a.
函數(shù)f(x)在(,+∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,即導(dǎo)函數(shù)在(,+∞)上存在函數(shù)值大于零成立,
∴+2a>0a>-.
(2)已知0<a<2,f(x)在[1,4]上取到最小值-,而f'(x)=-x2+x+2a的圖象開口向下,且對(duì)稱軸為x=,
∴f'(1)=-1+1+2a=2a>0,
f'(4)=-16+4+2a=2a-12<0,
則必有一點(diǎn)x0∈[1,4]使得f'(x0)=0,此時(shí)函數(shù)f(x)在[1,x0]上單調(diào)遞增,在[x0,4]上單調(diào)遞減,
f(1)=-++2a=+2a>0,
∴f(4)=-×64+×16+8a=-+8a,
∴-+8a=-,得a=1,
此時(shí),由f'(x0)=-+x0+2=0得x0=2或-1(舍去),
所以函數(shù)f(x)max=f(2)=.
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)函數(shù).
（1）若函數(shù)在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間[t，t+3]上的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)函數(shù)y＝f(x)，x∈R的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f(x)＝f(－x)，f′(x)＜f(x)．則下列三個(gè)數(shù)：ef(2)，f(3)，e2f(－1)從小到大依次排列為________．(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

使y＝sin x＋ax在R上是增函數(shù)的a的取值范圍為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知f(x)=x3-3x+m在區(qū)間[0,2]上任取三個(gè)不同的數(shù)a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)為邊長(zhǎng)的三角形,則m的取值范圍是　　　　　.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知R上可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，則不等式(x2－2x－3)f′(x)>0,的解集為_______

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝－x3＋x2，g(x)＝aln x，a∈R.
(1)若對(duì)任意x∈[1，e]，都有g(x)≥－x2＋(a＋2)x恒成立，求a的取值范圍；
(2)設(shè)F(x)＝若P是曲線y＝F(x)上異于原點(diǎn)O的任意一點(diǎn)，在曲線y＝F(x)上總存在另一點(diǎn)Q，使得△POQ中的∠POQ為鈍角，且PQ的中點(diǎn)在y軸上，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知函數(shù)在，點(diǎn)處取到極值，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，在曲線上，則曲線的切線的斜率的最大值是（  ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則函數(shù)y＝xex的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]

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