Question

設(shè)，函數(shù)，．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，比較與的大小；

（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)的圖象總在函數(shù)的圖象的上方，求的取值集合．

 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，易證在上是增函數(shù)，而，所以；（Ⅱ）函數(shù)的圖象總在函數(shù)的圖象的上方等價(jià)于恒成立，即在上恒成立，① 當(dāng)時(shí)，，則通過構(gòu)造函數(shù)求得當(dāng)時(shí)恒成立，所以；② 當(dāng)時(shí)，，則，通過構(gòu)造函數(shù)求得當(dāng)時(shí)恒成立，所以，由①及②得：，故所求值的集合為．

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)

而，

（Ⅱ）函數(shù)的圖象總在函數(shù)的圖象的上方等價(jià)于恒成立，

即 在上恒成立．

① 當(dāng)時(shí)，，則

令，，

再令，

當(dāng)時(shí)，，∴在上遞減，

∴ 當(dāng)時(shí)，，

∴，所以在上遞增，，

∴

② 當(dāng)時(shí)，，則

由①知，當(dāng)時(shí)，，在上遞增

∴ 當(dāng)時(shí)，，

∴ 在上遞增， ∴

∴

由①及②得：，故所求值的集合為．

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性；2.轉(zhuǎn)化與化歸的思想；3.不等式恒成立問題