Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-（1+a²）x²，其中a＞0，區(qū)間I={x|f（x）＞0}
（Ⅰ）求I的長(zhǎng)度（注：區(qū)間（a，β）的長(zhǎng)度定義為β-α）；
（Ⅱ）給定常數(shù)k∈（0，1），當(dāng)1-k≤a≤1+k時(shí)，求I長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）解不等式f（x）＞0可得區(qū)間I，由區(qū)間長(zhǎng)度定義可得I的長(zhǎng)度；
（Ⅱ）由（Ⅰ）構(gòu)造函數(shù)d（a）=，利用導(dǎo)數(shù)可判斷d（a）的單調(diào)性，由單調(diào)性可判斷d（a）的最小值必定在a=1-k或a=1+k處取得，通過(guò)作商比較可得答案．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)榉匠蘟x-（1+a²）x²=0（a＞0）有兩個(gè)實(shí)根x₁=0，＞0，
故f（x）＞0的解集為{x|x₁＜x＜x₂}，
因此區(qū)間I=（0，），區(qū)間長(zhǎng)度為；
（Ⅱ）設(shè)d（a）=，則d′（a）=，
令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，
故當(dāng)1-k≤a＜1時(shí)，d′（a）＞0，d（a）單調(diào)遞增；當(dāng)1＜a≤1+k時(shí)，d′（a）＜0，d（a）單調(diào)遞減，
因此當(dāng)1-k≤a≤1+k時(shí)，d（a）的最小值必定在a=1-k或a=1+k處取得，
而=＜1，故d（1-k）＜d（1+k），
因此當(dāng)a=1-k時(shí)，d（a）在區(qū)間[1-k，1+k]上取得最小值，即I長(zhǎng)度的最小值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次不等式的求解，以及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，考查分類討論思想和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．