Question

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），實(shí)軸長為2。
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+與雙曲線C左支交于A、B兩點(diǎn)，求k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，線段AB的垂直平分線l₀與y軸交于M（0，m），求m的取值范圍。

Answer 1

解：（1）設(shè)雙曲線C的方程為
（a>0，b>0）
由已知得：a=，c=2，
再由a²+b²=c²，
∴b²=1
∴雙曲線C的方程為。
（2）設(shè)A（x_A，y_A）、B（x_B，y_B）
將y=kx+代入
得（1-3k²）x²-6kx-9=0
由題意知
解得
∴當(dāng)時，l與雙曲線左支有兩個交點(diǎn)。
（3）由（2）得：x_A+x_B=
∴y_A+y_B=（kx_A+）+（kx_B+）=k（x_A+x_B）+2=
∴AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為
設(shè)直線l₀的方程為：
將P點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l₀的方程，得
∵
∴-2<1-3k²<0
∴m<-
∴m的取值范圍為。