Question

某企業(yè)接到生產3 000臺某產品的A，B，C三種部件的訂單，每臺產品需要這三種部件的數量分別為2,2,1(單位：件)．已知每個工人每天可生產A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．該企業(yè)計劃安排200名工人分成三組分別生產這三種部件，生產B部件的人數與生產A部件的人數成正比，比例系數為k(k為正整數)．

(1)設生產A部件的人數為x，分別寫出完成A，B，C三種部件生產需要的時間；

(2)假設這三種部件的生產同時開工，試確定正整數k的值，使完成訂單任務的時間最短，并給出時間最短的具體的人數分組方案．

Answer 1

解析　(1)設完成A，B，C三種部件的生產任務需要的時間(單位：天)分別為T₁(x)，T₂(x)，T₃(x)，由題設有

其中x，kx,200－(1＋k)x均為1到200之間的正整數．

(2)完成訂單任務的時間為f(x)＝max{T₁(x)，T₂(x)，T₃(x)}，其定義域為{x|0<x<，x∈N^*}，易知，T₁(x)，T₂(x)為減函數，T₃(x)為增函數．注意到T₂(x)＝T₁(x)，于是

①當k＝2時，T₁(x)＝T₂(x)，此時

f(x)＝max{T₁(x)，T₃(x)}＝max{，}．

由函數T₁(x)，T₃(x)的單調性知，當時

f(x)取得最小值，解得x＝.由于44<<45，而f(44)＝T₁(44)＝，f(45)＝T₃(45)＝，所以最短時間f(44)＝.

②當k>2時，T₁(x)>T₂(x)，由于k為正整數，故k≥3，此時

記T(x)＝，φ(x)＝max{T₁(x)，T(x)}，易知T(x)是增函數，則f(x)＝max{T₁(x)，T₃(x)}

≥max{T₁(x)，T(x)}＝φ(x)＝max

由函數T₁(x)，T(x)的單調性知，當時φ(x)取最小值，解得x＝.由于36<<37，而φ(36)＝T₁(36)＝>，φ(37)＝T(37)＝>.此時完成訂單任務的最短時間大于.

③當k<2時，T₁(x)<T₂(x)，由于k為正整數，故k＝1，此時

f(x)＝max{T₂(x)，T₃(x)}＝max{，}．

由函數T₂(x)，T₃(x)的單調性知，當＝時f(x)取最小值，解得x＝，類似①的討論，此時完成訂單任務的最短時間為，大于.

綜上所述，當k＝2時，完成訂單任務的時間最短，此時，生產A，B，C三種部件的人數分別為44,88,68.