Question

數列{a_n}的前n項和S_n=2ⁿ+p（p∈R），數列{b_n}滿足b_n=log₂a_n，若{a_n}是等比數列，
（1）求p的值及通項a_n；
（2）求和T_n=（b₁）²-（b₂）²+（b₃）²…+（-1）^n-1（b_n）²（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用“和”與“項”之間的遞推公式a_n=s_n-s_n-1（n≥2）先求a_n（n≥2），再由a₁=s₁=2+p的值代入通項可求p
（2）由（1）可得b_n=n-1，利用平方差公式可得b_n²-b_n-1²=（b_n+b_n-1）•（b_n-b_n-1）而b_n-b_n-1=1，代入可求和
解答：解：（1）∵s_n=2ⁿ+p∴s_n-1=2^n-1+p（n≥2）
∴a_n=s_n-s_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n≥2）
∵數列a_n為等比數列
從而a₁=2=2¹+p
∴p=-1
（2）由（1）知b_n=log₂a_n=n-1，b_n-b_n-1=1
當n為偶數時，T_n=（b₁）²-（b₂）²+（b₃）²…+（-1）^n-1（b_n）^{2
=（b₁+b₂）•（b₁-b₂）+（b₃+b₄）•（b₃-b₄）+…+（b_n-1-b_n）•（b_n-1+b_n）}
=-1×（b₁+b₂+b₃+…+b_n）
=
當n為奇數時，T_n=（b₁）²-（b₂）²+（b₃）²…+（-1）^n-1（b_n）²
=（b₁+b₂）•（b₁-b₂）+（b₃+b₄）•（b₃-b₄）+…+（b_n-2+b_n-1）•（b_n-2-b_n-1）+（b_n）²
=-1×（b₁+b₂+b₃+…+b_n-1）+（n-1）²
=
綜上可得，
點評：（1）利用可進行“項”與“和”之間的轉化靈活運用此公式，使得問題能夠向有利于解題的方向發(fā)展．最后要對n=1和n＞1的通項進行整合，使a₁適合通項是解p的關鍵
（2）解題的關鍵是要抓住b_n²-b_n-1²=（b_n-b_n-1）•（b_n+b_n-1）=b_n+b_n-1，從而轉化為等差數列的求和問題，但由于有正負的變化，所以需對n的奇偶性進行討論，體現了數學中的分類討論及轉化思想在解題中的應用．