Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f （x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足f（x+y）+f（x-y）=2f （x）cosy，且f（0）=0，f（

π

2

）=1．給出下列結(jié)論：
①f（

π

4

）=

1

2

②f（x）為奇函數(shù)  
③f（x）為周期函數(shù)  
④f（x）在（0，π）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)
其中正確的結(jié)論是______．（ 填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）．

Answer 1

對(duì)于①令x=y=

π

4

得f(

π

2

)+f(0)=2f(

π

4

)cos

π

4

所以f(

π

4

)=

2

2

，故①錯(cuò)
對(duì)于②令x=0得f（y）+f（-y）=2f（0）cosy即f（y）+f（-y）=0，故f（x）為奇函數(shù)，故②對(duì)
對(duì)于③，令y=

π

2

得f（x+

π

2

）+f（x-

π

2

）=0，所以f(x+

π

2

)=-f(x-

π

2

)∴f(x+

3π

2

)=-f(x+

π

2

)∴f(x+

3π

2

)=f(x-

π

2

)∴f（x）的周期為2π，故③對(duì)
對(duì)于④，由②③知，例如f（x）=sinx，滿足但在（0，π）不單調(diào)，故④錯(cuò)
故答案為：②③