Question

若對(duì)函數(shù)y=f（x）定義域內(nèi)的每一個(gè)值x₁，都存在唯一的值x₂，使得f（x₁）f（x₂）=1成立，則稱此函數(shù)為“K函數(shù)”，給出下列三個(gè)命題：
①y=x^-2是“K函數(shù)”；
②y=2^x是“K函數(shù)”；
③y=lnx是“K函數(shù)”，
其中正確命題的序號(hào)是

②

．

Answer 1

分析：對(duì)于函數(shù)y=x^-2，由R函數(shù)的定義得f（x₁）f（x₂）=1即x12x22=1，對(duì)應(yīng)的x₁、x₂不唯一，故y=x^-2不是K函數(shù)，得①不正確；對(duì)于函數(shù)y=2^x，若f（x₁）f（x₂）=1得2x1+x2=1，即x₁+x₂=0，所以x₂=-x₁，可得x₂存在且唯一得函數(shù)y=2^x是K函數(shù)，故②正確；對(duì)于③，因?yàn)楹瘮?shù)y=lnx有零點(diǎn)，可得當(dāng)x₁=1時(shí)，不存在x₂滿足f（x₁）f（x₂）=1成立，故函數(shù)y=lnx不是K函數(shù)，所以③不正確．由此可得本題的答案．

解答：解：對(duì)于①，函數(shù)y=x^-2，由f（x₁）f（x₂）=1，得

1

x12

•

1

x22

=1，即x12x22=1，
對(duì)應(yīng)的x₁、x₂不唯一，所以y=x^-2不是K函數(shù)，得①不正確．
對(duì)于②，函數(shù)y=2^x，由f（x₁）f（x₂）=1，得2x1•2x2=2x1+x2=1，即x₁+x₂=0，
所以x₂=-x₁，可得定義域內(nèi)的每一個(gè)值x₁，都存在唯一的值x₂滿足條件，故函數(shù)y=2^x是K函數(shù)，得②正確．
對(duì)于③，因?yàn)楹瘮?shù)y=lnx有零點(diǎn)，即當(dāng)x₁=1時(shí)，y=lnx₁=0，
所以當(dāng)x₁=1時(shí)，不存在x₂滿足f（x₁）f（x₂）=1成立，所以函數(shù)y=lnx不是K函數(shù)，故③不正確．
綜上所述，正確命題的序號(hào)是②．
故答案為：②

點(diǎn)評(píng)：本題給出R函數(shù)的定義，要我們驗(yàn)證幾個(gè)函數(shù)是否為R函數(shù)．著重考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)、命題真假的判斷與應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．