Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2tx³-3x²，其中t為常數(shù)．
（1）當(dāng)t=時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求極值，先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，解出x的值，為函數(shù)的極值點(diǎn)，再判斷極值點(diǎn)左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，左正右負(fù)為極大值，左負(fù)右正為極小值，然后把極值點(diǎn)代入原函數(shù)，求出函數(shù)值即可．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)增區(qū)間，只需求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，解出x的范圍即可．
解答：解：（1）當(dāng)t=時(shí)，函數(shù)f（x）=-3x²，∴f′（x）=2x²-6x
令f′（x）=0，即2x²-6x=0，得，x=0，或3
∴當(dāng)x=0，或3時(shí)，函數(shù)取得極值，且f（0）=0，f（3）=-9
又∵當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＞0，0＜x＜3時(shí)，f′（x）＜0，x＜3時(shí)，f′（x）＞0，
∴函數(shù)的極大值為0，極小值為-9
（2）由（1）知當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＞0，0＜x＜3時(shí)，f′（x）＜0，x＜3時(shí)，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0）和（0，+∞）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與單調(diào)區(qū)間，屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．