Question

已知定點(diǎn)A(0,－1)，點(diǎn)B在圓上運(yùn)動(dòng)，    

為圓心,線段AB的垂直平分線交BF于P．

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的方程；若曲線被軌跡包圍著，求實(shí)數(shù)的最小值.

(2)已知、，動(dòng)點(diǎn)在圓內(nèi)，且滿足，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1) 的最小值為 (2) 的取值范圍為

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解借助于橢圓的定義得到結(jié)論。然后結(jié)合向量的關(guān)系式得到坐標(biāo)關(guān)系，然后利用，得到范圍。

（1）由題意得，∴

∴P點(diǎn)軌跡是以A、F為焦點(diǎn)的橢圓，進(jìn)而得到結(jié)論。而曲線化為，

則曲線是圓心在，半徑為1的圓。

，那么利用圖像法得到最值。

（2）設(shè)，由得：，

化簡得，即 ，

而 

∵點(diǎn)在圓內(nèi)，∴，得到不等式，然后求解得到。

解：(1)由題意得，∴

∴P點(diǎn)軌跡是以A、F為焦點(diǎn)的橢圓. ………………………3分

設(shè)橢圓方程為 ，

則，

∴點(diǎn)的軌跡方程為 ………………5分

曲線化為，

則曲線是圓心在，半徑為1的圓。

而軌跡E：為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓短軸上的頂點(diǎn)為結(jié)合它們的圖像知：

若曲線被軌跡E包圍著，則，

∴的最小值為 。………………………8分

(2)設(shè)，由得：，

化簡得，即 ，

而 …………10分

∵點(diǎn)在圓內(nèi)，∴

∴，

∴，

∴的取值范圍為．……………1２分