Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是AC，PB的中點．
（Ⅰ）證明：EF∥平面PCD；
（Ⅱ）若PA=AB，求EF與平面PAC所成角的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證EF∥平面PCD，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面PCD內(nèi)一直線平行即可，連接BD，根據(jù)中位線可知EF∥PD，而EF不在平面PCD內(nèi)，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）連接PE，根據(jù)題意可知BD⊥AC，又PA⊥平面ABC，則PA⊥BD，從而BD⊥平面PAC，根據(jù)線面所成角的定義可知∠EPD是PD與平面PAC所成的角，而EF∥PD，則EF與平面PAC所成的角的大小等于∠EPD，在Rt△PED中，求出此角即可．

解答：（Ⅰ）證明：如圖，連接BD，則E是BD的中點．
又F是PB的中點，
所以EF∥PD．
因為EF不在平面PCD內(nèi)，
所以EF∥平面PCD．（6分）
（Ⅱ）解：連接PE．
因為ABCD是正方形，
所以BD⊥AC．
又PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BD．
因此BD⊥平面PAC．
故∠EPD是PD與平面PAC所成的角．
因為EF∥PD，
所以EF與平面PAC所成的角的大小等于∠EPD．
因為PA=AB=AD，∠PAD=∠BAD=90°，
所以Rt△PAD≌Rt△BAD．
因此PD=BD．
在Rt△PED中，
sin∠EPD=

ED

PD

=

1

2

，
∠EPD=30°．
所以EF與平面PAC所成角的大小是30°．（14分）

點評：本題主要考查空間線線、線面、面面位置關(guān)系，線面角大小計算，同時考查空間想象能力和推理論證能力．