Question

（2015•黃岡模擬）定義：如果函數(shù)f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），滿足f′（x1）=，f′（x2）=，則稱函數(shù)f（x）是[a，b]上的“雙中值函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上“雙中值函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）

A.（1，3） B.（，3） C.（1，） D.（1，）∪（，3）

Answer 1

B

【解析】

試題分析：由新定義可知f′（x1）=f′（x2）=a2﹣a，即方程x2﹣2x=a2﹣a在區(qū)間（0，a）有兩個解，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知實數(shù)a的取值范圍．

【解析】
由題意可知，

在區(qū)間[0，a]存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），

滿足f′（x1）=f′（x2）===a2﹣a

∵f（x）=x3﹣x2+a，

∴f′（x）=x2﹣2x，

∴方程x2﹣2x=a2﹣a在區(qū)間（0，a）有兩個解．

令g（x）=x2﹣2x﹣a2+a，（0＜x＜a）

則

解得＜a＜3，

∴實數(shù)a的取值范圍是（，3）．

故選：B．