Question

2．已知⊙C：（x+2）²+y²=1，P（x，y）為⊙C上任意一點(diǎn)，求以下各式的值域．
（1）$\frac{y-2}{x-1}$；
（2）x-2y；
（3）x²-4x+y²-6y+15．

Answer 1

分析 （1）設(shè)k=$\frac{y-2}{x-1}$，則kx-y-k+2=0，利用圓心到直線的距離d=$\frac{|-3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，可得函數(shù)的值域；
（2）（3）利用圓的參數(shù)方程，結(jié)合輔助角公式，即可求得值域．

解答 解：（1）設(shè)k=$\frac{y-2}{x-1}$，則kx-y-k+2=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|-3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，∴2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤k≤2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴值域是[2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]；
（2）設(shè)x=-2+cosα，y=sinα，則x-2y=-2+cosα-2sinα=-2+$\sqrt{5}$sin（α+θ）∈[-2-$\sqrt{5}$，-2+$\sqrt{5}$]；
（3）設(shè)x=-2+cosα，y=sinα，則x²-4x+y²-6y+15=28-8cosα-6sinα=28-10sin（α+γ）∈[18，38]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的運(yùn)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓的參數(shù)方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用圓的參數(shù)方程是關(guān)鍵．