Question

在△ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分線．且AD=kAC
（1）求k的取值范圍；
（2）若S_△ABC=1，問k為何值時(shí)，BC最短？

Answer 1

【答案】分析：（1）由三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)可得，BD=BC，CD=BC；在△ABD和△ACD中，分別利用余弦定理可得cos=；
由于 0＜＜，故 0＜cos＜1，由此解得k的取值范圍．
（2）若S_△ABC=1 得到 sinA=≤1，故 b²≥1，由余弦定理可得 a²=5b²±4，令 t=b²≥1，f（t）=5t+4，g（t）=5t-4，求得f（t）的最小值為5，求得g（t）的最小值為3，故a²的最小值等于3，此時(shí)，
b²=．△ACD中，再由余弦定理以及cos=，求得k的值．
解答：解：（1）設(shè)AC=1，則 AB=2，由三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)可得，BD=BC，CD=BC．
由余弦定理可得 =4+k²-4kcos，=1+k²-2kcos，
∴cos=．由于 0＜＜，∴0＜cos＜1，即 0＜＜1，
∴0＜k＜，故求k的取值范圍是（0， ）．
（2）若S_△ABC=1=b•2b•sinA，∴sinA=≤1，∴b²≥1．
∴cosA=±，由余弦定理可得 a²=5b²-4b²cosA=5b²±4b²=5b²±4，
令t=b²≥1，令f（t）=5b²+4=5t+4，令 g（t）=5b²-4=5t-4．
顯然，f（t）是增函數(shù)，f（t）≥f（1）=5．
∵g′（t）=5-，由g′（t）=0 可得，t=，g（）=3，
∴g（t）≥g（）=3，故a²的最小值等于3，故a的最小值等于 ．
此時(shí)，t=b²=，AC=b=，CD=，AD=k•AC=k•．
△ACD中，再由余弦定理可得 CD² =AC²+AD²-2AC•AD•cos，又cos=，
上式即 =+k² -2••k•，解得k=．
綜上，當(dāng)k= 時(shí)，a 的最小值等于 ，即BC的最小值等于 ．
點(diǎn)評：本題考查三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用，余弦函數(shù)的定義域和值域，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，求出
cos=，是解題的關(guān)鍵，求得 g（t）≥g（）=3，是解題的難點(diǎn)．