Question

將正奇數(shù)列{2n-1}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：
記a_ij是這個數(shù)表的第i行第j列的數(shù)．例如a₄₃=17
（Ⅰ）  求該數(shù)表前5行所有數(shù)之和S；
（Ⅱ）2009這個數(shù)位于第幾行第幾列？
（Ⅲ）已知函數(shù)（其中x＞0），設(shè)該數(shù)表的第n行的所有數(shù)之和為b_n，
數(shù)列{f（b_n）}的前n項和為T_n，求證．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件，得用等到差數(shù)列求和公式直接計算即可．
（Ⅱ）由2009=2×1005-1，知2009是正奇數(shù)列的第1005個數(shù)．設(shè)2009這個數(shù)位于第m行，前m-1行共有個數(shù)，所以，由此能求出2009這個數(shù)位于第幾行第幾列．
（Ⅲ）第n行的第一個數(shù)為，第n行各數(shù)形成以n²-n+1為首項，2為公差的等差數(shù)列
故．所以，再由錯位相減法能夠證明．
解答：解：（Ⅰ）…（3分）
（Ⅱ）∵2009=2×1005-1，
∴2009是正奇數(shù)列的第1005個數(shù)．…（5分）
設(shè)2009這個數(shù)位于第m行，前m-1行共有個數(shù)，…（7分）
則，
又m∈N₊，∴m=45…（8分）
故前44行共有990個數(shù)，
第45行的第1個數(shù)是2×991-1=1981…（9分）
2009=1981+2（n-1），∴n=15
故2009位于第45行第15列．…（10分）
（Ⅲ）證明：第n行的第一個數(shù)為，
第n行各數(shù)形成以n²-n+1為首項，2為公差的等差數(shù)列
故…（12分）
∴…（1）
…（2）
（1）-（2）整理得：＜．…（14分）
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運用，綜合性強，難度較大，容易出錯．解題時要認真審題，仔細解答，注意錯位相減法的合理運用．