Question

已知函數(shù)f(x)=

ln(ax)

x+1

-ln(ax)+ln(x+1)，（a≠0，a∈R）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)a＞0時(shí)，若存在x使得f（x）≥ln（2a）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)a＞0時(shí)，由

a＞0 ax＞0 x+1＞0

得x＞0；當(dāng)a＜0時(shí)由

a＜0 ax＞0 x+1＞0

得-1＜x＜0
綜上：當(dāng)a＞0時(shí)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，0）（3分）
（Ⅱ）f′(x)=

x+1 x -ln(ax)

(x+1)2

-

1

x

+

1

x+1

=

(x+1)-xln(ax)-(x+1)2+x(x+1)

x(x+1)2

=

-ln(ax)

(x+1)2

（5分）
令f'（x）=0時(shí)，得lnax=0，即x=

1

a

，
①當(dāng)a＞0時(shí)，x∈(0，

1

a

)時(shí)f'（x）＞0，當(dāng)x∈(

1

a

，+∞)時(shí)，f'（x）＜0，
故當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為(0，

1

a

)，遞減區(qū)間為(

1

a

，+∞)
②當(dāng)-1≤a＜0時(shí)，-1＜ax＜0，所以f'（x）＞0，
故當(dāng)-1≤a＜0時(shí)，f（x）在x∈（-1，0）上單調(diào)遞增．
③當(dāng)a＜-1時(shí)，若x∈(-1，

1

a

)，f'（x）＜0；若x∈(

1

a

，0)，f'（x）＞0，
故當(dāng)a＜-1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(

1

a

，0)；單調(diào)遞減區(qū)間為(-1，

1

a

)．
綜上：當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

1

a

)；單調(diào)遞減區(qū)間為(

1

a

，+∞)
當(dāng)-1≤a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0）；
當(dāng)a＜-1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(

1

a

，0)；單調(diào)遞減區(qū)間為(-1，

1

a

)；（10分）
（Ⅲ）因?yàn)楫?dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為(0，

1

a

)；單調(diào)遞減區(qū)間為(

1

a

，+∞)
若存在x使得f（x）≥ln（2a）成立，只須f(

1

a

)≥ln(2a)，
即ln(

a+1

a

)≤ln2a?

a+1

a

≥2a?

a＞0 - 1 2 ≤a≤1

?0＜a≤1（14分）