Question

已知函數(shù)f（x）=（x＞0），設(shè)f（x）在點(diǎn)（n，f（n））（n∈N*）處的切線在y軸上的截距為b_n，數(shù)列{a_n}滿足：a₁=N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）在數(shù)列中，僅當(dāng)n=5時(shí)，取最小值，求λ的取值范圍；
（Ⅲ）令函數(shù)g（x）=f（x）（1+x）²，數(shù)列{c_n}滿足：c₁=，c_n+1=g（c_n）（n∈N*），求證：對于一切n≥2的正整數(shù)，都滿足：1＜＜2．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵．則，得，即，
∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，
故．（4分）
（Ⅱ）又∵，
∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)（n，f（n））（n∈N*）處的切線方程為：，
令x=0，得．
∴，僅當(dāng)n=5時(shí)取得最小值，
只需，解得-11＜λ＜-9．
故λ的取值范圍為（-11，-9）．（9分）
（Ⅲ）∵g（x）=f（x）（1+x）²=x（1+x），故c_n+1=g（c_n）=c_n（1+c_n），
又∵，故c_n＞0，則，
即．（11分）
∴
=．
又=，
故．（14分）
分析：（Ⅰ）由．和，可得到最后由等差數(shù)列的定義求解即可．
（Ⅱ）通過求導(dǎo)得到切線的斜率，從而求得切線的方程，，令x=0，可得．化簡由二次函數(shù)法求解即可．
（Ⅲ）結(jié)合（I）得g（x）=f（x）（1+x）²=x（1+x），所以c_n+1=g（c_n）=c_n（1+c_n），兩邊取倒數(shù)可得．再由錯(cuò)位相消法化簡問題論證即可．
點(diǎn)評：本題是函數(shù)、數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)等的大型綜合題，情景新穎，具有較好的區(qū)分度，要求學(xué)生具有一定的審題、讀題能力，一定的等價(jià)變形能力，是一種比較常見的題型，尤其數(shù)列不等式采用導(dǎo)數(shù)工具來處理的新題不可小視．